The Learning Curve

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Text File | 1978-01-09 | 24.5 KB | 495 lines

Anleitung zu Comgraph """"""""""""""""""""""" """"""""""""""""""" """"""""""""""" Benötigte Konfiguration : Kickstart 1.2 oder höher 1 MB Speicher Benötigte Libraries im Systemverzeichnis LIBS: MathIEEEDoubBas.library MathIEEEDoubTrans.library Benötigte Devices im Systemverzeichnis DEVS: printer.device parallel.device serial.device Bei Comgraph handelt es sich um einen 2D-Funktionsplotter, der bis zu 10 Funktionen und maximal deren 5 Ableitungen gleichzeitig darstellen kann. Desweiteren besteht die Möglichkeit, daß jede Funktion 10 Funktionsscharen darstellen kann (samt ihren Ableitungen!). Die Bildschirmausgabe erfolgt in der jeweiligen Workbenchauflösung, womit auch die neueren Bildschirmauflösungen unterstützt werden, während die Druckerausgabe nicht einfach aus einer Hardcopy besteht (ist auch möglich), sondern einem an die Auflösung des Druckers angepaßtes Ergebnis. Die Größe (in cm) und die Druckdichte des Ausdrucks ist frei wählbar. Eine eingebaute Kurvendiskussion berechnet symbolisch die erste und zweite Ableitung und ermittelt Nullstellen, Extrema, Wendepunkte (Sattelpunkte), Polstellen und Lücken und Symmetrieeigenschaften. Auf dem Drucker lassen sich außerdem noch Wertetabellen drucken, für diejenigen, die den Graphen doch lieber von Hand zeichnen. Desweiteren stehen Taschenrechner, Primzahlberechnung und Primfaktorzerlegung zur Verfügung. Das Programm enthält gleichzeitig eine deutsch- sowie englischsprachige Version. Es enthält Rechenroutinen die mit LONGREAL (64 Bit Fließkomma) rechnen und so relativ langsam, dafür aber bis in kleinste Bereiche genau arbeiten. Der Geschwindigkeitsverlust gegenüber FFP (Fast Floating Point) erschien mir das geringere Übel gegenüber der Ungenauigkeit zu sein. Start des Programms : Aus dem CLI : Stack 100000 (kann auch etwas niedriger angesetzt sein) Comgraph [-gb] [+gb] Von der Workbench : Wenn keine Optionen übergeben werden sollen, einfach das Comgraph-Icon doppelklicken, ansonsten das Comgraph-Icon einmal anklicken, SHIFT gedrückt lassen und alle gewünschten Optionen anklicken, bei der letzten gewünschten Option ein Doppelklick. Die Optionen : +g Deutsche Version einschalten -g Deutsche Version ausschalten (Englische Version ein) +b Alle Bitplanes darstellen -b Eine Bitplane nicht darstellen => Speichergewinn (Farbenverlust) Voreingestellt sind die Optionen : Englische Version und alle Bitplanes. Desweiteren besteht die Möglichkeit die Optionen durch die Environment-Umgebung zu setzen, also SetEnv Comgraph [-gb] [+gb] Damit sind die Voreinstellungen ohne jede weitere Angabe eingestellt. Beim Start übergegebene Optionen haben eine höhere Priorität, überschreiben also die Vorgabewerte, die mittels SetEnv gesetzt wurden. Nach dem Start sollte ein leerer Screen erscheinen mit einer Titelleiste die den Namen des Programms und Copyright-Informationen beinhaltet. Die Menüs : Projekt : Info <AMIGA>+A zeigt Informationen über das Programm, Copyrighthinweise und den freien Chip- und FastMem-Speicher. Workbench <AMIGA>+B schaltet den Workbenchscreen ab bzw. an, um ca. 45 KB Speicher zu gewinnen (geschieht automatisch, wenn beim Start des Programms weniger als 200 KB ChipMem vorliegen). Dazu dürfen sich auf dem Workbenchscreen nur Workbenchwindows befinden! Quit <AMIGA>+Q beendet das Programm nach einer Sicherheitsabfrage. Plotter : Koordinatensystem <AMIGA>+S erfragt das x- und y-Achsen Interval, in dem die Funktionen gezeichnet werden sollen, bei welchen Werten die Achse Markierungen besitzen soll (z.B. bei einem Intervall [0;100] könnten Markierungen 10 Einheiten auseinander liegen, so daß 11 Markierungen erzeugt werden. Wenn bei jeder Einheit eine Markierung erfolgt, werden bei diesem Beispiel 101 Markierungen auf den Bildschirm gebracht, die kaum mehr zu unterscheiden sind!). Die Anzahl der Punkte zwischen den Markierungen bezeichnet wieviele Punkte sich jeweils zwischen zwei Markierungen in einem Gitter, daß auf dem Koordinatensystem liegt, befinden. Die am häufigsten benutzte Einteilung liegt bei 10 Punkten/Abschnitt und ist voreingestellt. Außerdem kann man eine Logarithmische Skala in X-, Y- oder in beiden Richtungen zuschalten. Dazu müssen lediglich die jeweiligen Gadgets angewählt werden. Da es keine negativen Logarithmen geben darf, fängt somit jede Logarithmische Skala bei 1 an. Damit die Markierungen sich in den großen Bereichen nicht häufen, sind diese nun nicht in gleichen, festen Abständen angebracht, sondern jede Markierung zeigt den doppelten Wert der vorigen an (z.B. 1,2,4,8,16...). Zoom <AMIGA>+Z erzeugt nach dem Anwählen ein Kreuz auf dem Bildschirm, das mit der Maus über den Bildschirm bewegt werden kann. Durch einmaliges Drücken der linken Maustaste, erfolgt die Festlegung einer Ecke des Rechtecks, das vergrößert dargestellt werden soll. Dieses erscheint nach weiterer Bewegung der Maus. Um den angewählten Bereich zu Vergrößern, muß ein zweites Mal die linke Maustaste betätigt werden. Diese Funktion läßt sich allerdings nicht mehr anwenden, wenn zwischen dem Zeichnen von Funktionen und dem gewünschten Vergrößern Änderungen an Funktionen oder am Koordinatensystem getätigt wurden. In diesem Fall müssen die Funktionen (wenigstens teilweise) nochmals gezeichnet werden. Funktionen eingeben <AMIGA>+E erfragt zuerst, welche der Funktionen verändert werden soll. Dazu wird ein Requester geöffnet, der alle sich im Speicher befindlichen Funktionen ausgibt. Nachdem man eine Funktion ausgewählt hat, erscheint ein neuer Requester in dem die Funktion eingegeben werden kann. Das Format der Eingabe wird später behandelt. Kurvenscharen werden im Zusammenhang mit einer "Konstanten" die man durch Werte ersetzen kann gebraucht. Mit Kurvenscharen sind also Funktionen möglich, die einen unbestimmten Wert beinhalten (z.B. f(x)=k*x^2 ). Nun ist es möglich den Graphen für verschiedene Werte von k gleichzeitig zu zeichnen. Dazu wird zuerst angegeben wieviele Scharen (Kurven) von einer Funktion auf den Bildschirm gewünscht sind. Wenn die Funktion keine Konstante 'k' besitzt, sollte dort eine '1' stehen, damit der Graph nicht mehrere Male übereinander gezeichnet wird, was zu Zeitverlusten führt. Ansonsten können bis zu zehn Kurvenscharen von jeder (!) Funktion gleichzeitig auf dem Bildschirm angezeigt werden. Als nächstes wird der Startwert für diese Konstante gewählt, wie auch ihre Schrittweite. D.h. daß die erste Funktion die Konstante mit dem angegebenen Startwert besitzt. Jede weitere Kurve der Kurvenschar besitzt eine um die Schrittweite höhere Konstante. Damit ist es sogar möglich Pseudo-3D Kurven darzustellen. Als letztes wird noch die Anzahl der Ableitungen erfragt, die auf dem Bildschirm erscheinen sollen. Zu beachten ist hierbei, daß von jeder Kurve der Kurvenschar diese Anzahl der Ableitungen gezeichnet wird. Es sind bis zu 5 Ableitungen erlaubt. Je höher der Grad der zu zeichnenden Ableitung, desto mehr Zeit benötigt deren Berechnung! Deshalb sollte auf unnötige Ableitungen verzichtet werden. Die Syntax der Formeln : Es dürfen sowohl Groß-, wie auch Kleinbuchstaben (auch gemischt) vorkommen, als auch Spaces (wo sie erlaubt sind, aber nicht innerhalb von Funktionsnamen oder Konstantennamen). Klammern dürfen beliebig gesetzt werden, solange sie den mathematischen Regeln entsprechen. Folgende Befehle sind erlaubt: x : X-Achsenwert +,-,*,/,^ : Die fünf Grundrechenarten () : Klammern (Setzung von Prioritäten) sin(),cos() : Sinus und Cosinus tan(),cot() : Tangens und Cotangens asin(),acos() : Arcussinus und Arcuscosinus atan(),acot() : Arcustangens und Arcuscotangens sinh(),cosh() : Sinus und Cosinus Hyperbolicus tanh(),coth() : Tangens und Cotangens Hyperbolicus asinh(),acosh() : Arcussinus und Arcuscosinus Hyperbolicus atanh(),acoth() : Arcustangens und Arcuscotangens Hyperbolicus exp() : Exponentialfunktion (e^x) sqr() : Wurzelfunktion (Quadratwurzel) log() : dekadentischer Logarithmus (zur Basis 10) ln() : Logarithmus naturalis (zur Basis e) abs() : Absolutwert (Betragsfunktion) k : Kurvenscharen 'Konstante' pi : Kreiszahl (ca. 3.14159265358979323846) e : Eulerische Zahl (ca. 2.71828182845904523536) epso : Elektrische Feldkonstante (ca. 8.8542*10^(-12)) myo : Magnetische Feldkonstante (PI*4.0*10^(-7)) c : Lichtgeschwindigkeit (ca. 2.997925*10^8) h : PLANK-Konstante (ca. 6.6256*10^(-34)) qe : Elektrische Elementarladung (ca. 1.6021*10^(-19)) me : Ruhemasse eines Elektrons (ca. 9.1091*10^(-31)) u : Atomare Masseneinheit (ca. 1.660277*10^(-27)) gk : Gravitationskonstante (ca. 6.67*10^(-11)) Zahlenkonstanten können wie folgt angegeben werden (z.B.) : 1 ! -2 ! 5.6521 ! -3.998 ! 2.543E+08 ! 42.4432E-32 Physikalische Einheiten werden nicht angenommen! Bildung anderer Funktionen die nicht enthalten sind, können z.B. aus dem Anhang des Basic-Handbuches entnommen werden. (z.B. Logrithmus zur Basis b => log(x)/log(b) ) Desweiteren gilt eine Besonderheit bei negierendem Vorzeichen. Dieses Vorzeichen hat die höchste Priorität. -x^2 wird intern als (-x)^2 erfaßt. Um diese Formel richtig zu stellen müssen Klammern gesetzt werden : -(x^2). Schon deshalb sollte man mit möglichst vielen Klammern arbeiten, um keine falschen Ergebnisse zu erhalten. Unklarheiten ergeben sich aber auch durch Schreibweisen wie 3/x/k, wo auf alle Fälle Klammern gesetzt werden sollten (entweder (3/x)/k oder 3/(x/k) )! Alle offenen Klammern müssen wieder geschlossen werden! Funktionen zeichnen <AMIGA>+C öffnet wiederum einen Requester, in dem man die zu zeichnenden Funktionen markieren kann. Die ersten Zeichen der jeweiligen Funktion sind jeweils hinter dem jeweiligen Gadget angegeben. Nach Markierung aller gewünschten Funktionen, wird der Funktionsplotter mit 'OK' gestartet. Um abzubrechen, muß nur 'CANCEL' angewählt werden. Der Zeichenvorgang kann jederzeit mit <SPACE> abgebrochen werden. Um zoomen oder drucken zu können muß nicht das ganze Intervall gezeichnet werden (nur bei einer Hardcopy sollte sich alles auf dem Bildschirm befinden!). Koordinaten <AMIGA>+W läßt wieder ein Kreuz über der aktuellen Mausposition erscheinen und dessen Koordinaten in der Menüleiste rechts. Diese Funktion wird durch den linken Mausknopf beendet. Kurvendiskussion <AMIGA>+K fragt zuerst nach der Funktion, die diskutiert werden soll. In einem weiteren Requester wird nach dem Intervall gefragt, das untersucht werden soll, für welches K einer Kurvenschar dies geschehen soll und wie hoch die Suchdichte seien soll. Je höher die Suchdichte, desto besser ist das Ergebnis, aber um so länger dauert es. Der voreingestellte Wert reicht für die meisten Funktionen aus. Danach wird ein Window geöffnet, worin sich zwei Gadgets befinden. 'WEITER' blättert um, wenn eine Seite vollgeschrieben wurde, während 'CANCEL' die Kurvendiskussion beendet. Es erfolgt dann für die gewählte Funktion die Kurvendiskussion. Zuerst werden die erste und zweite Ableitung berechnet und anschließend Nullstellen, Extrempunkte (H = Hochpunkt, T = Tiefpunkt), Wendepunkte (W = Wendepunkt, S = Sattelpunkt), Pole und Lücken sowie Symmetrieeigenschaften wie (periodische) Achsen- und Punktsymmetrie durch eine beliebige Achse/beliebigen Punkt. Verlassen der Kurvendiskussion am Ende durch Anwählen von 'WEITER'. Um Ableitungen zu ermitteln bewährt sich folgendes Verfahren : Zuerst ermittelt man mit Hilfe der Kurvendiskussion die erste Ableitung der gewünschten Funktion und faßt sie per Hand zusammen. Diese optimierte Ableitung wird als neue Funktion eingegeben und davon die erste Ableitung gebildet, die man wieder selbst zusammenfassen sollte. Dieses Verfahren wird so oft wie benötigt angewendet und als Ergebnis erhält man optimierte Ableitungen, die sonst rechnerisch ermittelt werden müßten. Integrale berechnen <AMIGA>+I verlangt zuerst nach der Art der Integration. Hier stehen verschiedene Typen zur Auswahl : Integral : Es wird nur das normale Integral ausgerechnet Fläche : Es wird die Fläche, die sich zwischen Graph und X-Achse befindet, berechnet (immer positiv!) Fläche zwischen zwei Funktionen : Es wird die Fläche, die zwei Funktionen einschließen, berechnet (auch immer positiv!) Rotationskörper : Es wird das Volumen des Körpers ermittelt, der entsteht, wenn die Funktion um die X-Achse dreidimensional gedreht würde, die Funktion also der Umriß des Körpers wäre Oberfläche des Rotationskörpers : Anstatt des Volumens wird hierbei die Oberfläche eines solchen Körpers berechnet Bogenlänge : Es wird die Länge des Kurvenstücks in dem Intervall berechnet Zur Berechnung des Integrals wird die Simpson-Regel zur Hilfe genommen. Es kann einige Sekunden dauern ehe die Lösung präsentiert wird, je nachdem wie hoch der Wert für die Integrationsdichte liegt. Je höher die Integrationsdichte, desto genauer der Wert und desto länger die Berechnung. Für den voreingestellten Wert liegt der Fehler der Berechnung normalerweise in 100000steln. Der Fehler der Simpson Regel läßt sich allerdings auch durch die gegebene Formel (b-a)^5/(180*(2*m)^4)*(max[a,b] f[4](x)) genauer abschätzen. (a = Anfang des Bereichs, b = Ende, m = Integrationsdichte, max[a,b] f[4](x) = Maximaler Wert der vierten Ableitung im Intervall [a;b]). Daraus folgt, daß bei Polynomen bis dritter Ordnung keine Fehler auftreten dürften! Taschenrechner <AMIGA>+T öffnet ein Window mit einer wissenschaftlichen Taschenrechner- emulation. Dieser Taschenrechner soll nur kleine Kontrollrechnungen ermöglichen und soll keinen vollwertigen Taschenrechner ersetzen! Der Ausstieg geschieht wiederum durch Anklicken von 'OK'. Einige Tasten müssen höchstwahrscheinlich noch erklärt werden : Ausdruck: Shortcut: Bedeutung: 1/x k Kehrbruch des Wertes x^2 q Quadrat des Wertes y^x y y hoch x SQR w Wurzel des Wertes EE e Exponetialdarstellung und -eingabe x! f Fakultät des Wertes SIN s Sinus des Wertes COS c Cosinus des Wertes TAN t Tangens des Wertes LOG l Dekantischer Logarithmus LNx n natürlicher logarithmus ASIN S Arcus Sinus aus dem Wert ACOS C Arcus Cosinus aus dem Wert ATAN T Arcus Tangens aus dem Wert 10^x L 10er Potenz des Wertes e^x N Exponentialwert DRG d Änderung der Winkeleinheiten sDRG D Änderung der Einheiten und Werte % % Prozentdarstellung des Wertes xWy z y Wurzel aus x PI p Kreiszahl PI e a Eulerische Zahl x<>y <TAB> Wechselt mit Wert im Zwischenspeicher +/- ` Wechselt das Vorzeichen C <DEL> Anzeige löschen = <RETURN> Berechnet die Eingabe Lin. Gleichungssysteme <AMIGA>+G ist ein Modul um lineare Gleichungen mit zwei bis sieben Unbekannten zu berechnen. Dazu muß als erstes die Anzahl der Unbekannten eingegeben werden. Dann wird dazu ein Fenster geöffnet in dem jeweils die passende Anzahl Koeffizienten eingetragen werden können. Hinter den Gleichheitszeichen müssen die Ergebnisse der Gleichungen eingetragen werden. Erst wenn alle Werte korrekt eingegeben wurden, rechnet der Computer nach Anwahl des 'RECHNE' Gadgets die Variablen aus. Er trägt sie jeweils unter den Koeffizienten ein. Da das Programm das Gaußsche Eliminationsverfahren benutzt, ist es recht schnell und benötigt nur wenige Sekunden um das Ergebnis zu berechnen. Primfaktorzerlegung <AMIGA>+M fordert auf, eine Zahl einzugeben (Integer), die dann in ihre Primfaktoren zerlegt wird. Die Bedienung der Gadgets ähnelt der Kurvendiskussion. Primzahlen berechnen <AMIGA>+N öffnet ein Window und fragt nach dem Start- und Endwert. Danach berechnet es Primzahlen, solange bis der Benutzer abbricht, oder der Endwert erreicht ist. Die Bedienung ähnelt wiederum der Kurvendiskussion Drucker : Funktionen drucken <AMIGA>+P prüft, ob schon einmal die Ausdruckeinstellungen aufgerufen worden sind, und wenn nicht, werden sie zuerst angesprungen. Lesen Sie die Bedienung bitte unter dem Punkt 'Ausdruckeinstellungen' nach. Wenn alles eingestellt wurde, öffnet der Computer ein Abbruchwindow in dem auch das Fortschreiten des Druckes in Prozent angegeben wird. Der Computer reagiert nicht sofort auf den Abbruch, sondern druckt die noch in Berechnung befindlichen Streifen aus, und hört erst dann komplett auf. Es werden diejenigen Funktionen gedruckt, die sich auch auf dem Bildschirm befinden. Allerdings funktioniert dieses nur, wenn zwischenzeitlich nicht das Koordinatensystem oder die Funktionen geändert wurden. Dann müssen erst die Funktionen (zumindest teilweise) wieder auf den Bildschirm geplottet werden. Es muß sich nicht die ganze Funktion auf dem Bildschirm befinden, da keine Hardcopy gemacht wird, sondern der Druck vollkommen neu berechnet wird. So kann die Bilschirmanzeige praktisch sofort mit <SPACE> abgebrochen werden. Hier sei schon vorweggenommen, daß die DMA-Bildschirmabschaltung mittels <HELP> den Druck (sowie die Darstellung) um den Faktor zwei beschleunigen! Sehen Sie dazu weiter unten den Abschitt über die generelle Belegung der Tasten. Koordinatenausgabe <AMIGA>+O gibt auf dem Drucker die Größen des Koordinatensystems, sowie dessen Einheiten und sonstige Gegebenheiten (wie z.B. logarithmische Darstellung) als Text aus. Kurvendiskussion <AMIGA>+D ist genau der gleiche Menüpunkt wie in dem Menu 'Plotter', nur wird hier zusätzlich die Bildschirmausgabe auf den Drucker weitergeleitet. Wertetabelle <AMIGA>+V fragt nach der Anzahl der Werte, sowie dem Startwert und der Schrittweite, sowie einem Wert für k (soweit vorhanden). Danach gibt es die gewüschte Tabelle für die gewählte Funktion auf dem Drucker aus. Es werden die jeweiligen X-Werte ausgegeben, daneben der Funktionswert, dessen drei Ableitungen und die Stammfunktion. Damit kann man dann leicht seine eigenen Graphen zeichnen, wenn die Qualität der gedruckten zu schlecht sein sollte oder man keinen Graphikdrucker zur Verfügung hat. Primfaktorzerlegung <AMIGA>+X Primzahlen drucken <AMIGA>+Y Es gilt das gleiche wie unter dem Menu 'Plotter', nur wird hier die Ausgabe zusätzlich auf den Drucker weitergeleitet. Ausdruckeinstellungen <AMIGA>+F öffnet ein Window für die Einstellungen des Druckers. Allgemeine Einstellungen, wie der Typ des Druckers müssen schon vor dem Programmstart in den Preferences eingestellt worden sein. Erst dann kann man sichergehen, daß der Ausdruck auch wirklich so wird, wie gewünscht. Mittels '1'-'7' oder anwählen des jeweiligen Gadgets wird zwischen verschiedenen Druckdichten gewählt. Die jeweilige aktuelle Druckdichte wird in DPI (Dots Per Inch) angegeben. Diese Werte werden durch die Preferences des Druckers vorgegeben. Density 7 hat natürlich die höchste Druckdichte und damit die höchste Auflösung. Darunter werden die Maße des eingelegen Papiers angegeben. Es kann dann dort auch die Maße des Ausdrucks reguliert werden, allerdings niemals über die Maße des Papiers. So können maßstabs- gerechte Ausdrucke erzeugt werden (z.B. in dem Koordinatensystem mit X und Y von -5 bis 5 und 10cm x 10cm Ausdrucksgröße wird jede Einheit fast genau 1cm lang!). So können leicht Druckvorlagen für Schule und Studium erzeugt werden. Durch die hohe Auflösung beim Druck sind gute Graphen leicht zu erzeugen. Allerdings hat gute Qualität auch ihren Preis: Je höher die Auflösung, desto länger dauert der Druck. Als letztes kann der Abstand vom linken Rand reguliert werden. So können z.B. zwei Graphen nebeneinander gedruckt werden. Der Ausstieg kann über die Gadgets 'OK' und 'CANCEL' erfolgen, wobei bei Anwahl von 'CANCEL' die Änderungen nicht übernommen werden! Bildschirmhardcopy <AMIGA>+H wird nur benötigt, wenn der Ausdruck eilt oder nur einen ungenauen Ausdruck des Graphen benötigt. Auch dieser Ausdruck ist an die Ausdruckeinstellungen gebunden, soweit es das Betriebssystem erlaubt. Um eine Hardcopy zu erzeugen, muß sich der Graph natürlich vollständig auf dem Bildschirm befinden, da nur der Bildschirminhalt ausgedruckt wird! Die Screenleiste wird nicht mitgedruckt. Generelle Belegung der Tasten : In fast allen Programmteilen haben bestimmte Tasten ihre festgelegte Wirkung. Hier ist eine Auflistung der Tasten, die als Ersatz für die Gadgets benutzt werden können: <SPACE>,'w','o' OK bzw. WEITER, RECHNE (positives Gadget) 'c' CANCEL, etc. (negatives Gadget) 'n' Nächste (Funktionen eingeben) 'v' Vorherige (Funktionen eingeben) 'x','y' schaltet logarithmisches System ein/aus (Koordinatensystem) <RETURN> Schaltet zum nächsten Stringgadget. Wenn keines aktiviert war, wird das erste aktiviert. So kann mittels <RETURN> alle Gadgets durch- gegangen werden, bis keines mehr aktiviert ist. Dann können die BOOLEAN-Gadgets mittels Tastatur anwählt werden (z.B. 'OK', 'CANCEL'). <HELP> Schaltet alle DMA (Direct Memory Access) ab. das Programm läuft dadurch auf einem Standart AMIGA bis um den Faktor 2 schneller. Copyrighthinweise : © 1990-1993 by Andre Wiethoff. Dieses Programm ist Shareware und Copyright- geschützt. Das Programm darf nur unmodifiziert zusammen mit den Anleitungen weitergegeben werden. Wer dieses Programm häufig nutzt, sollte mir meine Arbeit mit etwas Geld vergüten. Je nachdem vieviel Interesse besteht, kann dieses Programm noch weiter ausgebaut werden (z.B. Vektorrechnung, etc.) und endgültig von Fehlern befreit werden. Wer Fehler in diesem Programm gefunden oder Verbesserungsvorschläge hat, bitte ich darum, mit mir Kontakt aufzunehmen. Meine Kontaktadresse : Andre Wiethoff Höhenweg 2 57392 Schmallenberg Germany